第一积分中值定理的推广【介值性】

设函数 与 在[a, b]上可积，且 具有介值性， 在 上不改变符号，则存在 ，使得：

引理1：可积函数 在 上恒正，则 。

证明：由于可积函数 不连续点集为零测集，且区间 一定不是零测集，所以 在 上必存在连续点。设 ， 在 处连续，即： （或单边极限）。

，由极限保号性：存在区间 ，使得对于 ，恒有 成立。

证毕。

引理2：可积函数 在 上不改变符号，则： 的充要条件是 在 上存在无零点区间。

证明：不妨设 。

充分性：

存在区间 ，对于 ， 恒成立，由引理1得：

必要性：

，假设 在任意区间（ 的子区间）均存在零点，

对于分割 ，

，由于 可在 上任取，使其取到零点，则有 ，出现矛盾，因此 存在某区间无零点。

证毕。

设函数 与 在[a, b]上可积，且 具有介值性， 在 上不改变符号，则存在 ，使得：

证明：不妨设 ，则 。

令 ， ，

若 ，则有：

，

可在 上任取，因此以下只考虑 的情形。

同时假定 在 上可取到下确界，但不可取到上确界，其他情况的证明是完全类似的。

由引理2知： 在 上存在恒正区间（无零点），又因为 在 上恒正，所以 在 上存在恒正区间。

再由引理2得： ，即 。

由于 不可取到上确界，所以 ，使 。

令设 为最小值点， ，

所以 ，由于 具有介值性， （ 介于 和 之间），使 。

证毕。

证明：若 ，则显然正确，因此以下只考虑 的情形。

假设 只能在区间端点取得。

介值点 和 由上下确界得来，在上述证明中可知：如果某一确界无法被取到，则对应的介值点必可存在于开区间中（例如，上述证明中的 若为区间端点，则存在 和 与 互不相等，使得 ， 一定位于开区间中），

介于 和 之间，因此， 所取得的介值点（ 或 ）一定位于区间端点，且介值点对应的确界一定是可以取到的，即： 所取得的区间端点（ 或 ）为最值点。

，即： ，

因为 在 上不改变符号，由引理2知： 在任意区间（ 的子区间）均有零点。

又因为 ，所以 存在无零点区间，设为 ，

使得 ，

所以 ， ，出现矛盾， 必可在开区间取得。

证毕。

如果 为可积的导函数，可以直接使用第一积分中值定理。